Metoda Newtona (zwana również metodą Newtona-Raphsona lub metodą stycznych) – iteracyjny algorytm wyznaczania przybliżonej wartości pierwiastka funkcji.
"Metoda Newtona-4 kroki" autorstwa Wojciech mula z projektu polski Wikipedia. Licencja CC BY-SA 2.5 na podstawie Wikimedia Commons.
Jeśli f ∈ C^2 [a, b] tworzę ciąg typu
Procedura trwa do momentu aż dla zadanej dokładności δ
Kod programu w C++:
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double fun(double x)
{
return exp(x)*log(x)-x*x;
}
double fun1(double x)
{
return exp(x)*log(x)+exp(x)*(1./x)-2.*x;
}
int main()
{
double a=1.0;
double b=2.0;
double ab=b-a;
double delta=0.001;
double x0=(a+b)/2.;
double x1;
while( fabs(ab) > delta)
{
x1=x0-fun(x0)/fun1(x0);
ab=x1-x0;
x0=x1;
cout<<x1<<endl;
}
return 0;
}
Otrzymujemy w kolejnych krokach miejsc zerowe:1.7398; 1.69657; 1.6946; 1.6946
piątek, 13 listopada 2015
Wariacja i odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe – klasyczna miara zmienności, obok średniej arytmetycznej najczęściej stosowane pojęcie statystyczne. Intuicyjnie rzecz ujmując, odchylenie standardowe mówi, jak szeroko wartości jakiejś wielkości (takiej jak np. wiek, inflacja, kurs akcji itp.) są rozrzucone wokół jej średniej[1]. Im mniejsza wartość odchylenia tym obserwacje są bardziej skupione wokół średniej.
Program: obliczający wariację i odchylenie standardowe na podstawie danych wprowadzonych przez użytkownika.
Program wariacja;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
x:array[1..100] of real;
n,i:byte;
w,s:real;
begin
repeat
write('Wprowadz ilosc liczb(n): ');
read(n);
if (n<0) or (n>100) then writeln('Wprowadz liczbe wieksza od 0 i mniejsza lub r˘wna 100');
until (n>0) and (n<=100);
for i:=1 to n do
begin
write('Wprowadz liczbe x',i,': ');
read(x[i]);
end;
for i:=1 to n do s:=s+x[i];
s:=s/n;
for i:=1 to n do w:=w+sqr(x[i]-s);
w:=w/n;
writeln('Wariacja wynosi: ',w:0:2);
writeln('Odchylenie standardowe wynosi: ',sqrt(w):0:2);
readln;readln;
end.
Program: obliczający wariację i odchylenie standardowe na podstawie danych wprowadzonych przez użytkownika.
Program wariacja;
{$APPTYPE CONSOLE}
uses
SysUtils;
var
x:array[1..100] of real;
n,i:byte;
w,s:real;
begin
repeat
write('Wprowadz ilosc liczb(n): ');
read(n);
if (n<0) or (n>100) then writeln('Wprowadz liczbe wieksza od 0 i mniejsza lub r˘wna 100');
until (n>0) and (n<=100);
for i:=1 to n do
begin
write('Wprowadz liczbe x',i,': ');
read(x[i]);
end;
for i:=1 to n do s:=s+x[i];
s:=s/n;
for i:=1 to n do w:=w+sqr(x[i]-s);
w:=w/n;
writeln('Wariacja wynosi: ',w:0:2);
writeln('Odchylenie standardowe wynosi: ',sqrt(w):0:2);
readln;readln;
end.
czwartek, 12 listopada 2015
Materiały
Dodatkowe materiały http://www2.fct.put.poznan.pl/NumMeth_Wyklad_1.pdf przesłane przez profesora
czwartek, 5 listopada 2015
Prezentacja i film o metodach numerycznych
Prezentacja i film o metodach numerycznych i możliwościach wykorzystania ich w arkuszu kalkulacyjnym.
czwartek, 15 października 2015
Metody numeryczne
Metody numeryczne – metody rozwiązywania problemów
matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są
na ogół przybliżone, jednak dokładność obliczeń może być z góry określona i
dobiera się ją zależnie od potrzeb. Obecnie ta dziedzina matematyki rozwija się
bardzo szybko ze względu na liczne zastosowania w informatyce i algorytmice.
Metody numeryczne wykorzystywane są wówczas, gdy badany
problem nie ma w ogóle rozwiązania analitycznego (danego wzorami) lub
korzystanie z takich rozwiązań jest uciążliwe ze względu na ich złożoność.
W szczególności dotyczy to:
· znajdowania miejsc zerowych wielomianów stopnia większego niż 2 (korzystanie ze wzorów na dokładne wartości pierwiastków równań stopnia 3 i stopnia 4 jest niepraktyczne, dla równań stopnia wyższego niż 4 wzorów już nie ma)
· rozwiązywania układów równań liniowych w przypadku większej liczby równań i niewiadomych
· rozwiązywania równań różniczkowych i układów takich równań
· znajdowania wartości i wektorów własnych (zob. równanie własne)
· aproksymacji, czyli przybliżaniu nieznanych funkcji (np. pomiarów zjawisk fizycznych)
- Interpretacja liniowa
- Interpretacja wielomianowa
- FFT
- Metoda Monte Carlo
- Metody Newtona-Cotesa
- Metoda Simpsona
- Wzór trapezów
- Metoda równego podziału
- Kwadratury Gaussa
Zapoznanie z metodami numerycznymi i profesorem Ihorem Ohirko
Nasz grupa z profesorem
Ihor Wasyljowycz Ohirko
Ihor Ohirko urodził się 14 kwietnia 1952 roku
w Jeziernej (obwód tarnopolski) na Ukrainie.
Jego rodzice, Wasyl i Teodora, byli nauczycielami. Do szkoły uczęszczał we
wsi Pidbirci, następnie do
szkoły średniej nr 11 we Lwowie, którą ukończył w 1969 roku. Studiował na kierunku
techniczno-matematycznym na Uniwersytecie im. Iwana Franka we Lwowie. W
1974 roku, po ukończeniu studiów, został skierowany do pracy w charakterze
pracownika naukowego do Instytutu Matematyki we Lwowie, gdzie prowadził badania
w zakresie metod matematycznych teorii pola.
Jednocześnie wykładał informatykę na Uniwersytecie Lwowskim.
W 1978 roku w Instytucie Stosowanych
Problemów Mechaniki i Matematyki obronił dysertację na
stopień kandydata nauk. Praca została napisana na temat
mechaniki deformowanego ciała twardego i powstała pod kierunkiem Jarosława Buraka. Po
obronie Ohirko kontynuując pracę w Instytucie Matematyki awansował na
kierownika Wydziału Metod Liczbowych w Mechanice i MatematyceNarodowej Akademii Nauk Ukrainy (ukr.
ОЦ ІППММ АН України). W okresie kierowania placówką zajmował się fizycznymi i
geometrycznymi modelami nieliniowej termosprężystości ciał przy wykorzystaniu
rozmaitych metod optymizacji. Wyniki swoich badań zawarł w rozprawie
doktorskiej Mechanika deformowanego ciała twardego (ukr.
Механіка деформованого твердого тіла), którą obronił w 1989 roku na Kazańskim Uniwersytecie Państwowym.
Od roku 1990 pracuje w Ukraińskim
Instytucie Poligraficznym im. Iwana Fedorowa. W latach 1992–1998
kierował Katedrą Matematyki Stosowanej tego instytutu, a w 2002 roku został
profesorem Katedry Wydawnictw Elektronicznych. W latach 2003–2008 pełnił
funkcję przewodniczącego państwowej komisji egzaminacyjnej Uniwersytetu im.
Iwana Franka we Lwowie w dziedzinie matematyki stosowanej i cybernetyki
ekonomicznej. Ponadto uczestniczył w pracach rad naukowych oceniających
kandydackie i doktorskie dysertacje, które powstawały na Ukraińskiej Akademii
Drukarstwa, Politechnice Lwowskiej, Uniwersytecie im.
Iwana Franka. Wykłada także na Wydziale
Informatyki i Matematyki Uniwersytetu
Technologiczno-Humanistycznego im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu.
Ohirko jest autorem 156 publikacji naukowych,
w tym 3 monografii i 59 artykułów naukowych. Jest stałym członkiem kolegiów
redakcyjnych dwóch serii wydawniczych: Poligrafia a sprawa wydawnicza (ukr.
Поліграфія і видавнича справа) oraz Naukowe zapiski Ukraińskiej
Akademii Drukarstwa (ukr. Наукові записки Української академії
друкарства).
W 2005 roku za zasługi dla narodu
ukraińskiego został nagrodzony dyplomem Rady
Najwyższej Ukrainy.
Subskrybuj:
Posty (Atom)